2021年北京高考數(shù)學(xué)科目的考試已經(jīng)結(jié)束，北京教育考試院和北京教科院基教研中心的專家們對今年高考數(shù)學(xué)試卷進(jìn)行了權(quán)威解析，詳情如下：

數(shù)學(xué)試卷整體分析

穩(wěn)中求進(jìn)，推動(dòng)新高考改革致遠(yuǎn)前行

2021年高考數(shù)學(xué)北京卷堅(jiān)持貫徹落實(shí)立德樹人根本任務(wù)，實(shí)現(xiàn)“教”“學(xué)”“考”一體化的目標(biāo)，形成了“一個(gè)中心，兩個(gè)維度，六大素養(yǎng)，四條路徑”的評價(jià)體系。即以立德樹人為中心，以知識與思想、文化與應(yīng)用為內(nèi)容，以數(shù)學(xué)學(xué)科六大素養(yǎng)為核心，以突出數(shù)學(xué)本質(zhì)、精選試題素材、創(chuàng)新設(shè)問方式、凸顯問題解決能力為四條實(shí)施路徑。

一個(gè)中心：立德樹人

北京卷命題緊扣時(shí)代發(fā)展，選擇重大現(xiàn)實(shí)事件入題，發(fā)揮學(xué)科特點(diǎn)，以立德樹人為命題的宗旨，特別關(guān)注了德育、美育和勞動(dòng)教育。

2021年是中國共產(chǎn)黨百年華誕，第6題以黨旗為背景，考查等差數(shù)列的基礎(chǔ)知識。同時(shí)，黨旗寬與長的比值2:3是最接近黃金比的、最簡的相鄰整數(shù)之比，體現(xiàn)數(shù)學(xué)與藝術(shù)的完美結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)美。結(jié)合黨旗知識，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)史明理、學(xué)史增信，堅(jiān)定理想信念，擔(dān)當(dāng)時(shí)代責(zé)任，厚植愛國主義情懷。

第8題以學(xué)生綜合實(shí)踐活動(dòng)為背景，通過自制雨量器，收集雨水，測量降水量，將勞動(dòng)教育與數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)容有機(jī)融合。從而引導(dǎo)學(xué)生熱愛勞動(dòng)，崇尚勞動(dòng)，助力培養(yǎng)德智體美勞全面發(fā)展的社會主義建設(shè)者和接班人。

兩個(gè)維度：知識與思想、文化與應(yīng)用

一、突出對數(shù)學(xué)主干知識和思想方法的考查

北京卷突出對主干知識的考查。如對函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、三角函數(shù)、平面解析幾何、立體幾何、統(tǒng)計(jì)與概率、數(shù)列、其他（不等式、集合、復(fù)數(shù)、二項(xiàng)式定理、充要條件、向量）這些主干知識進(jìn)行重點(diǎn)考查，充分體現(xiàn)了對數(shù)學(xué)知識考查的基礎(chǔ)性、全面性和綜合性。

北京卷從數(shù)學(xué)學(xué)科整體意義和思想價(jià)值的高度立意，有效檢測學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的掌握程度。如第15題考查數(shù)形結(jié)合、運(yùn)動(dòng)與變化思想，第17題第（Ⅱ）問和第20題第（Ⅱ）問考查了函數(shù)與方程的思想，第9題體現(xiàn)的是化歸與轉(zhuǎn)化思想，第21題考查了歸納與綜合、特殊與一般的思想，第18題考查了或然與必然的思想。

二、關(guān)注對數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)應(yīng)用的考查

北京卷突出對數(shù)學(xué)文化和應(yīng)用的考查，試題關(guān)注社會，關(guān)注學(xué)生發(fā)展，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識解決簡單實(shí)際問題。如第8題以測降雨量為題材，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，以及數(shù)學(xué)與地理學(xué)科的關(guān)系。同時(shí)該題材也與我國《數(shù)書九章》的“天池盆測雨”的背景有關(guān)，通過“以史育人”達(dá)到“以文化人”的目的。

第18題以新冠病毒的“10合1”與“5合1”核酸檢測技術(shù)為背景，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)知識在大規(guī)模排查新冠病毒感染者的實(shí)際問題中的應(yīng)用，使學(xué)生體會概率統(tǒng)計(jì)知識的應(yīng)用價(jià)值，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，養(yǎng)成在日常生活中應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的習(xí)慣。

六大素養(yǎng)：

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)

北京卷通過設(shè)計(jì)現(xiàn)實(shí)性和綜合性問題，實(shí)現(xiàn)對數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析六大素養(yǎng)的綜合考查。

針對數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，北京卷設(shè)計(jì)了至少5道試題。如第10題，考查數(shù)列項(xiàng)數(shù)的最大值問題，題目中只給定了數(shù)列的前n項(xiàng)和以及數(shù)列的遞增性，需要學(xué)生綜合分析所給條件，要使得項(xiàng)數(shù)最大，首項(xiàng)必須盡可能小，遞增的幅度也需盡可能小，進(jìn)而逐步抽象出等差數(shù)列模型。

針對邏輯推理素養(yǎng)，北京卷設(shè)計(jì)了至少3道試題。如第3題，以函數(shù)單調(diào)性、函數(shù)最值以及充要條件為載體，考查學(xué)生對函數(shù)性質(zhì)的認(rèn)識以及邏輯推理的能力。又如第21題第（Ⅰ）問，主要考查學(xué)生面對新情境的學(xué)習(xí)能力；第（Ⅱ）問需要學(xué)生特殊化三個(gè)性質(zhì)；第（Ⅲ）問需要學(xué)生會用形式化的語言去推證一般的結(jié)論。

針對直觀想象素養(yǎng)，北京卷設(shè)計(jì)了至少5道試題。如第13題，考查的是向量的運(yùn)算。基于向量具有幾何和代數(shù)雙重特征，本題既可以用坐標(biāo)計(jì)算，也可以借助幾何直觀解決。

針對數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，北京卷設(shè)計(jì)了至少9道試題。如第12題，以拋物線為載體，考查拋物線的定義、焦點(diǎn)等知識。本題既可以通過設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)、根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式求解，也可以根據(jù)拋物線的定義直接求解。

針對數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)，北京卷設(shè)計(jì)了第18題。本題以“10合1”為切入點(diǎn)設(shè)計(jì)了第（Ⅰ）問。利用“10合1”的檢測方式，如果新冠病毒感染者在同一組，只需檢測20次；如果新冠病毒感染者不在同一組，只需檢測30次。而根據(jù)傳統(tǒng)的檢測方法，需要檢測100次。因此，“10合1”的檢測方式效率大幅提高。

針對數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，北京卷設(shè)計(jì)了至少3道試題。如第8題的降雨量測量的體積模型。第21題第（Ⅲ）問中歸納、建構(gòu)的“自變量為正整數(shù)的取整函數(shù)”的數(shù)列模型。

總之，北京卷通過設(shè)計(jì)現(xiàn)實(shí)性、探究性和綜合性問題，體現(xiàn)對數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重點(diǎn)考查。

四條路徑：課堂、素材、呈現(xiàn)方式、問題解決

一、試題在內(nèi)容上突出數(shù)學(xué)本質(zhì)，回歸課堂教學(xué)

北京卷試題內(nèi)容緊扣課標(biāo)和教材，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，不出偏難怪題。選擇題、填空題主要考查教材和課標(biāo)中的基礎(chǔ)知識和方法。第16題是正弦定理、余弦定理應(yīng)用的問題，第17題是立體幾何的位置關(guān)系與角度問題，第19題是函數(shù)與導(dǎo)數(shù)中的切線、單調(diào)性與最值問題，第20題是直線與橢圓的位置關(guān)系問題，這四道題所考查的都是高中的主干知識，使用的方法是通性通法。這種考查方式，有利于減少死記硬背和機(jī)械刷題的現(xiàn)象，切實(shí)減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)。

試題符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律以及學(xué)生的實(shí)際，在問題設(shè)計(jì)時(shí)，通過層層遞進(jìn)，為學(xué)生的思考搭建臺階。如第12題和第13題都設(shè)置兩空，第一空為第二空適當(dāng)做鋪墊。第21題第（Ⅰ）問，只要能夠正確理解題意，大部分學(xué)生能夠完成；第（Ⅱ）問要把抽象的性質(zhì)轉(zhuǎn)化成具體的數(shù)值，部分學(xué)生能夠完成；第（Ⅲ）問對學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)提出較高要求。因此，該題的層層設(shè)問，為不同水平的學(xué)生搭建了施展才華的舞臺。

二、試題在素材選取上，源于現(xiàn)實(shí)世界和學(xué)生生活

北京卷在試題素材的選取上，真實(shí)、自然、合理，突出對學(xué)習(xí)能力的考查。如第6題的黨旗五種通用規(guī)格，融入建黨百年主題教育的素材；第8題的24小時(shí)的降雨量及其所屬等級；第18題的“10合1”與“5合1”新冠病毒核酸檢測方法，把偉大抗疫精神等作為立德樹人的重要載體，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。

三、試題在呈現(xiàn)方式上，增強(qiáng)試題的選擇性和開放性

北京卷采用多種方式，對試題的形式進(jìn)行動(dòng)態(tài)調(diào)整和適度創(chuàng)新，增強(qiáng)試題的選擇性和開放性。在題型上進(jìn)行了創(chuàng)新，設(shè)計(jì)條件或結(jié)論開放、解題方法多樣、答案不唯一的試題。如第14題，要求學(xué)生根據(jù)一點(diǎn)和其關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)，給出q 的一個(gè)取值，試題答案不唯一。學(xué)生需要根據(jù)已有的信息，理解三角函數(shù)的概念，并用旋轉(zhuǎn)的思想和y軸對稱的特征解決問題。該問題考查學(xué)生思維的靈活性和多樣性。

與2020年試題相比，2021年的第16題是結(jié)構(gòu)不良問題，在考查學(xué)生的選擇性方面又前進(jìn)了一步，增加了一個(gè)不符合要求的條件，需要學(xué)生進(jìn)行判斷和選擇。題目要求學(xué)生在三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使△ABC存在且唯一確定，其中條件①與已知題設(shè)矛盾。條件②與條件③分別給出三角形的周長與面積，兩問設(shè)置具有層次性，題目求解方法多樣，考查學(xué)生對于基礎(chǔ)知識的理解和運(yùn)用能力。

北京卷在命題技術(shù)和評分量表上進(jìn)行持續(xù)探索，以提升命題的質(zhì)量。如第15題設(shè)計(jì)分層賦分試題。這種設(shè)計(jì)有利于保障試題的區(qū)分和考查效果。

四、試題凸顯對問題解決能力的考查，為學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展打下基礎(chǔ)

北京卷的命題，不僅體現(xiàn)人才的選拔功能，還注重價(jià)值引領(lǐng)，凸顯對問題解決能力的考查，引導(dǎo)學(xué)生去探索，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識去解決職場與生活中的實(shí)際問題。

如第18題，緊密聯(lián)系社會重大問題，具有拓展性。是不是“10合1”總比“5合1”的效率高？在大規(guī)模檢測中是不是可以提出更高效的“k合1”方法，比如“100合1”？諸如此類的問題會引發(fā)學(xué)生持續(xù)的探索和研究，從而發(fā)展他們的發(fā)現(xiàn)與提出問題能力。

第21題以數(shù)列為載體，考查歸納概括、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法，考查數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng)，有助于引導(dǎo)學(xué)生問題解決能力的發(fā)展，從而由做題到做事，為未來進(jìn)一步學(xué)習(xí)奠定良好基礎(chǔ)。

2021年是新高考改革的第二年，北京卷繼續(xù)保持“入口易、口徑寬，深入緩、出口難”的特點(diǎn)，堅(jiān)持“立德樹人，服務(wù)選拔和引導(dǎo)教學(xué)”的命題指導(dǎo)原則，穩(wěn)中求進(jìn)，形成了“一個(gè)中心，兩個(gè)維度，六大素養(yǎng)，四條路徑”的評價(jià)體系，圍繞著強(qiáng)化中心，豐富維度內(nèi)涵，突出素養(yǎng)，優(yōu)化路徑，促進(jìn)中學(xué)對“四具備”人才的培養(yǎng)，引導(dǎo)教學(xué)在“六個(gè)方面”下功夫，助力學(xué)生德智體美勞全面發(fā)展。#p#分頁標(biāo)題#e#

數(shù)學(xué)試卷試題分析

2021年高考北京數(shù)學(xué)試卷整體上符合國家課程標(biāo)準(zhǔn)要求，結(jié)合北京市高中數(shù)學(xué)教學(xué)現(xiàn)狀，知識要素覆蓋全面，數(shù)學(xué)素養(yǎng)考查突出。

相比于去年，數(shù)學(xué)試題在試卷結(jié)構(gòu)、考試內(nèi)容和難度上保持一致。題型依然是選擇題、填空題和解答題，每一部分題型的難度預(yù)設(shè)基本符合從易到難的分布。

試題的表述形式簡潔、規(guī)范，圖文準(zhǔn)確并相互匹配，呈現(xiàn)方式及作答方式堅(jiān)持多樣化，延續(xù)了北京數(shù)學(xué)試卷“大氣、平和”的特點(diǎn)。命題的總體穩(wěn)定有利于考生穩(wěn)定心態(tài)，正常發(fā)揮，考出自己的數(shù)學(xué)真實(shí)水平。

No.1文化浸潤，立德樹人

試卷第（6）題，以中國共產(chǎn)黨黨旗的圖案和規(guī)格為背景考查數(shù)列知識，體現(xiàn)了《深化新時(shí)代教育評價(jià)改革總體方案》的要求，著眼于傳承紅色基因，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注黨的知識和歷史。

第（16）題是以常規(guī)三角函數(shù)為背景的題目，改變相對固化的試題形式，設(shè)計(jì)學(xué)生自主選擇已知條件的任務(wù)，增強(qiáng)了試題的開放性，有助于減少死記硬背和“機(jī)械刷題”現(xiàn)象，有助于減輕學(xué)生過重的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)。

第（8）題，設(shè)計(jì)了收集雨水的應(yīng)用性題目，將環(huán)境保護(hù)教育、生態(tài)文明等主題教育與數(shù)學(xué)測試試題有機(jī)結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生樹立尊重自然、順應(yīng)自然、保護(hù)自然的發(fā)展理念，展現(xiàn)了數(shù)學(xué)的教育價(jià)值，貫徹了《中小學(xué)德育工作指南》。

No.2穩(wěn)中有變，適度創(chuàng)新

相比去年，數(shù)學(xué)試題在保持整體穩(wěn)定的基礎(chǔ)上，又體現(xiàn)了適度創(chuàng)新。例如將結(jié)構(gòu)不良問題放在了解答題第一題，雖然難度不大，但與去年不同的是所給三個(gè)條件中，有一個(gè)是不成立的，而另外兩組成立的條件在解法上也有所不同，為學(xué)生展現(xiàn)數(shù)學(xué)思維能力搭建了平臺。

再如第（3）題，考查了常用邏輯用語的必要條件、充分條件、充要條件的內(nèi)容，與去年試題相比，位置相對提前，但降低了考查的難度，更加凸顯了考查考生對相關(guān)概念的理解和掌握。命題的適度創(chuàng)新，增強(qiáng)了試題的靈活性，為引導(dǎo)教學(xué)、防止題型固化、命題方式固化起到了積極的作用，也有利于對學(xué)生能力素養(yǎng)的考查。

No.3重視基礎(chǔ)，突出主干

在考查數(shù)學(xué)的“四基”（基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)）中，突出數(shù)學(xué)學(xué)科特色，著重考查學(xué)生的理性思維能力，發(fā)揮數(shù)學(xué)作為基礎(chǔ)學(xué)科的作用，重視考查中學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和方法的掌握程度，重點(diǎn)考查主干知識與內(nèi)容。

例如，選擇題的前5道題和填空題前3道題，涉及內(nèi)容都是基礎(chǔ)知識和基本方法，考查了集合、復(fù)數(shù)、充要條件、三視圖、雙曲線的性質(zhì)、二項(xiàng)式定理、拋物線的性質(zhì)、平面向量等內(nèi)容。在試題設(shè)計(jì)上，這些試題涉及的知識點(diǎn)相對單一、思維相對簡單，易于解答。

在此基礎(chǔ)上，試卷對主干內(nèi)容重點(diǎn)考查，體現(xiàn)了對數(shù)學(xué)知識考查的全面性、基礎(chǔ)性和綜合性，6道解答題中重點(diǎn)考查了解三角形及立體幾何、概率統(tǒng)計(jì)、導(dǎo)數(shù)、直線與圓錐曲線、數(shù)列綜合等主干內(nèi)容。解答題的前2道題，題干簡潔表述清晰，集中考查了解三角形和立體幾何的主干知識及核心概念。

No.4強(qiáng)調(diào)本質(zhì)，考查素養(yǎng)

試卷突出體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)，在關(guān)注考生未來發(fā)展的同時(shí)，以能力立意，強(qiáng)調(diào)對數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)本質(zhì)的考查。

如：選擇題第（6）題和第（8）題考查學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識分析、解決問題的能力，體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)；第（20）題考查了解析幾何中的主要方法，需要學(xué)生具備一定的數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)和解決問題；第（15）題考查推理判斷能力與靈活運(yùn)用知識的綜合能力。

第（21）題以數(shù)列為載體，考查歸納概括、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法，考查學(xué)生對新概念的理解，考查學(xué)生獲取新知識的能力和對新問題的理解探究能力。

第（4）題求四面體的表面積需要學(xué)生能根據(jù)三視圖作出直觀圖進(jìn)行求解，考查直觀想象素養(yǎng)；第(17)題以正方體為載體考查直線與平面平行的性質(zhì)及二面角的相關(guān)知識，考查邏輯推理和運(yùn)算素養(yǎng)。第（13）題，考查的是向量的運(yùn)算?；谙蛄烤哂袔缀魏痛鷶?shù)雙重特征，本題既可以用坐標(biāo)計(jì)算，也可以借助幾何直觀解決。

No.5突出數(shù)學(xué)應(yīng)用，體現(xiàn)數(shù)學(xué)價(jià)值

試卷中設(shè)置以源于社會實(shí)際和學(xué)生真實(shí)生活的情境，引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值、文化價(jià)值、美學(xué)價(jià)值。

例如第（6）題中，5種規(guī)格中國共產(chǎn)黨黨旗的長與寬的比值都相等，近似于黃金分割，體現(xiàn)出黨旗與數(shù)學(xué)之美的結(jié)合。第（8）題以學(xué)生綜合實(shí)踐活動(dòng)切入，通過計(jì)算圓錐形量雨器內(nèi)雨水的體積，求出降雨量，既提供了學(xué)習(xí)生活中解決現(xiàn)實(shí)問題的事例，又考查了學(xué)生分析和解決問題的能力。

再例如第（18）題以當(dāng)前我國常用的大規(guī)模核酸檢測“k合1”方案為情境，求解檢驗(yàn)次數(shù)，研究分布列和期望，尤其是對“10和1”與“5合1”兩個(gè)方案的對比，感受方案選擇與感染人數(shù)的關(guān)系，既考查了學(xué)生概率統(tǒng)計(jì)的知識和思想方法，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)模型在解決現(xiàn)實(shí)問題時(shí)的優(yōu)化作用。

縱觀整份試卷，保持了北京試卷綜合、靈活的特色，穩(wěn)中求變。

在突出基本知識、基本技能和基本思想方法考查的同時(shí)，突出考查學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，展現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值及學(xué)科育人價(jià)值，給不同能力水平的學(xué)生提供了展示的平臺，對數(shù)學(xué)教學(xué)起到了積極的引導(dǎo)作用。

試卷解析參與人員：

北京市東城區(qū)教師研修中心

高級教師 張?jiān)S合

北京市朝陽區(qū)教育研究中心

正高級教師 王文英

北京教育科學(xué)研究院

高級教師 黃煒

北京教育科學(xué)研究院

高級教師 李青霞

北京教育科學(xué)研究院

高級教師 康杰

聲明：本文由北京高考在線團(tuán)隊(duì)（微信公眾號：bj-gaokao）排版編輯，內(nèi)容來源于首都教育，如有侵權(quán)，請及時(shí)聯(lián)系管理員刪除。